MATHEMATICS DURING CLASS: May 2020

Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df(x)}{dx}$ atau y’ dan didefinisikan sebagai:

$f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ , dan pangkat dari fungsi .

1. Rumus turunan fungsi pangkat

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus $f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ sebagai:

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}$

$= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})$

$= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}$

Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:

$f'(x ) = nx^{n-1}$

2. Rumus turunan hasil kali fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}$

$=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}$

$= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)$

$u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

3. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

sehingga

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}$

$=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}$

$= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}$

$= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi

Ingat jika , maka:

$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1$

Karena , maka:

$f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Atau

$f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

$f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'$

Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

1. $y = \sin x \rightarrow y' = \cos x$

2. $y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x$

3. $y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x$

4. $y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x$

5. $y = \sec x \rightarrow y'$

6. $y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x$

7. $y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x$

8. $y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x$

9. $y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u$

10. $y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u$

11. $y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u$

12. $y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u$

13. $y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u$

14. $y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u$

15. $y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u$

16. $y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u$

Aplikasi Turunan

1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:

Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik singgung dirumuskan sebagai:

$y - y_1 = m(x - x_1) \rightarrow m = f'(x_1)$

2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

§ Syarat interval fungsi naik $\rightarrow f'(x) > 0$

§ Syarat interval fungsi turun $\rightarrow f'(x) < 0$

3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.

§ Nilai maksimum $\rightarrow f'(x) = 0$ dan $\rightarrow f"(x) < 0$

Jika dan , maka adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

§ Nilai minimum $\rightarrow f'(x) = 0$ dan

Jika dan , maka adalah nilai balik minimum dari fungsi dan titik adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).

§ Nilai belok $\rightarrow f'(x) = 0$ dan

Jika dan , maka adalah nilai belok dari fungsi y = f(x) dan titik adalah titik belok dari kurva y = f(x).

4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$

Jika $\lim \limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ merupakan limit berbentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:

§ Rumus kecepatan $\rightarrow v = s' = f'(t)$

§ Rumus percepatan $\rightarrow a = s' = f"(t)$

Contoh Soal Turunan Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal 1

y= Inx y’=

y = A In U y’=

Tentukan turunan pertama dari y= 2 In [5x+1]

u= 5x +1

u’= 5

Sehingga turunannya:

y’= =

Contoh Soal 2 –

Turunan pertama dari $f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ adalah

Pembahasan 1:

y =

$y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ .

Sehingga turunannya:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$=2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

CONTOH SOAL 3

Tentukan turunan pertama dari $f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

Pembahasan 2:

Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu $f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ dan juga $y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Sehingga: